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数学难题,急等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图11)求证:AM=AN;(2)设BP=x.①若BM=3/8,求x的
更新时间: 2025-08-24 04:54:23
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问题描述:

数学难题,急

等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图11)求证:AM=AN;

(2)设BP=x.

①若BM=3/8,求x的值;

②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式;

③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H(如图2).当x为何值时,∠BAD=15°?此

时,以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理

由.

槐瑞托回答:
  是等边三角形吧   看三角形ABP,   由余弦定理有,   AP^2=AB^2+BP^2-2cosB*AB*BP=AB^2+BP^2-AB*BP   同理,看三角形ACP有,   AP^2=AC^2+CP^2-2cosC*AC*CP=AC^2+CP^2-AC*CP   两式相加得   2AP^2=2AB^2+BP^2+CP^2-AB*(BP+CP)=2AB^2+BP^2+CP^2-AB*BC=AB^2+BP^2+CP^2   =AB^2+(BP+CP)^2-2*BP*CP=AB^2+(BC)^2-2*BP*CP=2*AB^2-2*BP*CP   所以AP^2=AB^2-BP*CP   所以BP*CP=AB^2-AP^2   补充另一个做法,用勾股定理   作AD垂直于BC,垂足为D,   因为ABC为等边三角形,   所以BD=CD   AB^2-AP^2   =AD^2+BD^2-AD^2-DP^2   =BD^2-DP^2   =(BD+DP)(BD-DP)   =(BD+DP)(CD-DP)   =BP*CP
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