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用数学归纳法证明:X的2n次方—y的2n次方能被X+Y整除(
更新时间: 2025-08-24 00:43:01
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问题描述:

用数学归纳法证明:X的2n次方—y的2n次方能被X+Y整除(

凌飞回答:
  证:   n=1时,x²-y²=(x+y)(x-y),包含因式x+y,能被x+y整除.   假设当n=k(k∈N+且k≥1)时,x^(2k)-y^(2k)能被x+y整除,则当n=2(k+1)时,   x^[2(k+1)]-y^[2(k+1)]   =[x^(2k+1)-y^(2k+1)](x+y)-yx^(2k+1)+xy^(2k+1)   =[x^(2k+1)-y^(2k+1)](x+y)-xy[x^(2k)-y^(2k)]   [x^(2k+1)-y^(2k+1)](x+y)中包含因式x+y,能被x+y整除;xy[x^(2k)-y^(2k)]中包含能被x+y整除的因式x^(2k)-y^(2k),能被x+y整除.即当n=k+1时,x^[2(k+1)]-y^[2(k+1)]能被x+y整除.   综上,得x^(2n)-y^(2n)能被x+y整除.
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