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【在△ABC中,求证tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1不要用90°-A+C/2=cotB来做,因为我们物理在用cot,数学还没学到】
更新时间: 2025-08-18 07:02:15
1人问答
问题描述:

在△ABC中,求证tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

不要用90°-A+C/2=cotB来做,因为我们物理在用cot,数学还没学到

常雷回答:
  证明:由于A,B,C为△ABC中三个内角,则:   tanA/2*tanB/2+tanB/2*tanC/2+tanC/2*tanA/2   =tanA/2*tanB/2+tanB/2*tan[pi/2-(A+B)/2]+tan[pi/2-(A+B)/2]*tanA/2   =tanA/2*tanB/2+tanB/2*cot[(A+B)/2]+cot[(A+B)/2]*tanA/2   =tanA/2*tanB/2+cot[(A+B)/2]*[tanA/2+tanB/2]   由于:tan[(A+B)/2]=[tanA/2+tanB/2]/[1-tanA/2*tanB/2]   故:tanA/2+tanB/2=tan[(A+B)/2]*[1-tanA/2*tanB/2]   则原式=tanA/2*tanB/2+cot[(A+B)/2]*{tan[(A+B)/2]*[1-tanA/2*tanB/2]}   =tanA/2*tanB/2+1*(1-tanA/2*tanB/2)   =tanA/2*tanB/2+1-tanA/2*tanB/2=1
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