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抛物线高中数学问题已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,x2),B(x1,x2)俩点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1/k2为定值
更新时间: 2025-08-22 20:25:05
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问题描述:

抛物线高中数学问题

已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,x2),B(x1,x2)俩点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.

记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1/k2为定值

钱国宁回答:
  设AB:y=k(x+2)   设A(x1,y1),B(x2,y2),   C(x3,y3),D(x4,y4)   ∴AM的方程是y=[y1/(x1-1)](x-1)   设k0=y1/(x1-1)   则AM:y=k0(x-1)   与抛物线方程联立   ∴k0²(x-1)²=4x   ∴k0²-(2k0²+4)x+k0²=0   利用韦达定理   x3*x1=1   ∴x3=1/x1   ∴y3=k0(x3-1)=[y1/(x1-1)]*[1/x1-1]=-y1/x1   即M(1/x1,-y1/x1)   同理N(1/x2,-y2/x2)   ∴k(MN)=(-y1/x1+y2/x2)/[1/x1-1/x2]   =[-y1x2+x1y2]/(x2-x1)   =[-k(x1+2)x2+k(x2+2)x1]/(x2-x1)   =k(2x2-2x1)/(x2-x1)   =k*2   ∴K(MN)/k(AB)=2   即k(MN)/k(AB)=2   ∴k1/k2=2   ∴k1/k2是定值,为2   抱歉,原来的解答最后的几步输入错误,重新改动了.
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