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数学必修五——数列题设数列{an}的前n项和为Sn,对于所有的自然数n,都有Sn=n(a1+an)/2.(1)求证{an}是等差数列(2)若S10=310.S20=1220,试确定前n项和Sn的公式
更新时间: 2025-08-30 17:03:02
1人问答
问题描述:

数学必修五——数列题

设数列{an}的前n项和为Sn,对于所有的自然数n,都有Sn=n(a1+an)/2.

(1)求证{an}是等差数列

(2)若S10=310.S20=1220,试确定前n项和Sn的公式

孙克辉回答:
  1.   n>=2时   An=Sn-S(n-1)=n(A1+An)/2-(n-1)(A1+A(n-1))/2   (n-2)An-(n-1)A(n-1)=-A1   (n-1)An-(n-1)A(n-1)=An-A1   An-A(n-1)=(An-A1)/(n-1)   同理A(n+1)-An=(A(n+1)-A1)/n   两式相减   (A(n+1)-An)-(An-A(n-1))   =(A(n+1)-A1)/n-(An-A1)/(n-1)   =[(n-1)A(n+1)-nAn+A1]/[n(n-1)]   =[n(A(n+1)-An)-(A(n+1)-A1)]/[n(n-1)]   =[(A(n+1)-A1)-(A(n+1)-A1)]/[n(n-1)]   =0   A(n+1)-An=An-A(n-1)   {An}是等差数列   2.   S10=10A1+1/2×10×9×d=310   S20=20A1+1/2×20×19×d=1220   解方程得A1=4d=6   Sn=4n+1/2×n(n-1)×6=n(3n+1)
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