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【用数学归纳法证明2²;+4²;+6²;+……+(2n)²=1/4n(n+1)(2n+1)】
更新时间: 2025-08-28 17:53:42
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问题描述:

用数学归纳法证明2²;+4²;+6²;+……+(2n)²=1/4n(n+1)(2n+1)

李志蜀回答:
  正确的结论是:2²+4²+6²+……+﹙2n﹚²=﹙2/3﹚n﹙n+1﹚﹙2n+1)   证明:   1、当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式   2、下面证明,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时   f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)   f(n+1)=f(n)+[2(n+1)]^2   =2/3*n(n+1)(2n+1)+[2(n+1)]^2   =[2n(n+1)(2n+1)+12(n+1)(n+1)]/3   =[4n^2+2n+12n+12](n+1)/3   =[4n^2+14n+12](n+1)/3   =2[2n^2+7n+6](n+1)/3   =2(2n+3)(n+2)(n+1)/3   =2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)   综上所述,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时   f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)   又因为当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式   所以题述公式成立
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