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用数学归纳法证明:1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1)≤n
更新时间: 2025-08-24 21:07:02
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问题描述:

用数学归纳法证明:1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1)≤n

童勤业回答:
  当n=1时,左边=1,右边=1,成立.   假设你n=k时成立.即1+1/2+1/3+.+1/(2^k-1)≤k   当n=k+1时,左边=1+1/2+1/3+.+1/(2^k-1)+1/[(2^k-1)+1]+1/[(2^k-1)+2]   +1/[(2^k-1)+3]+……+1/[2^(k+1)-1]=1+1/2+1/3+.+1/(2^k-1)+1/(2^k)+1/(2^k+1)   +1/(2^k+2)+……+1/[(2^k-1)+2^k]≤k+1/(2^k)+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+……+1/[2^(k+1)-1]   ≤k+2^k*(1/2^k)   =k+1   综上可知:1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1)≤n   (1/(2^k-1)+1/(2^k)+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+……+1/[(2^k-1)+2^k]是n=k+1添加的项,对应相等,且共2^k项)1/(2^k)+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+……+1/[(2^k-1)+2^k]去掉括号内+的1,2,3…..2^k后,则它们的和小于1
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