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数学课上,张老师正在上课:同学们,我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形,圆内接四边形的对角(相对的两个角)互补.下面我们来研究它外角的性质.(1)在图①中作出圆
更新时间: 2025-08-21 16:18:50
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问题描述:

数学课上,张老师正在上课:同学们,我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形,圆内接四边形的对角(相对的两个角)互补.下面我们来研究它外角的性质.

(1)在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE,并请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角(简称内对角)∠A的关系,并证明∠DCE与∠A的关系;

(2)分别延长BD、AD到点F、E,如图②,已知四边形ABCD是圆内接四边形,如果DE平分∠FDC,请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢?

(3)如图③,点D是圆上一点,弦AB=

3,DC是∠ADB的平分线,∠BAC=30°.当∠DAC等于多少度时,四边形DACB有最大面积?最大面积是多少?

唐海蓉回答:
  (1)画图如图,∠DCE=∠A.   证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,   ∴∠A+∠BCD=180°,   ∴∠DCE+∠BCD=180°   ∠DCE=∠A;   (2)AB=AC,   证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,   ∴∠2=∠ABC,   ∵∠1=∠ADB,∠ADB=∠ACB,   ∴∠1=∠ACB,   ∵DE平分∠FDC,   ∴∠1=∠2,   ∴∠ABC=∠ACB,   ∴AB=AC;   (3)∵DC平分∠ADB,   ∴∠ADC=∠BDC,   又∵∠ADC=∠ABC,∠BDC=∠BAC,   ∴∠ABC=∠BAC,   ∴AC=BC,   ∵AB=3
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