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用数学归纳法证明下题将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15).,分别计算各组包含的正整数的和如下,试用不完全归纳法猜测S1+S3+S5+.+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.S1=1S2=2+
更新时间: 2025-08-28 17:33:07
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问题描述:

用数学归纳法证明下题

将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15).,分别计算各组包含的正整数的和如下,试用不完全归纳法猜测S1+S3+S5+.+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.

S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65

S6=16+17+18+19+20+21=111.

高武奇回答:
  把S1+S3+...+S(2n-1)记作A(n)   n=1,S1=1   n=2,S1+S3=16   n=3,S1+S3+S5=81   ...   猜测还是简单的,就是n^4   数学归纳法证明:   首先对于n=1,A(n)=S1+...+S(2n-1)=1符合   然后假定对于n成立,那么我们来看对于n+1,   A(n+1)=A(n)+S(2n-1)=n^4+S(2n+1)   只要证明S(2n+1)=(n+1)^4-n^4,数学归纳法证明就ok了.好,现在让我们看看S(2n+1)是什么东西:   首先Sn是n个连续自然数相加之和;   其次,Sn的起始点恰好在1+2+3+...+(n-1)之后.就是说如果用Bn表示1+2+3+...+(n-1),Sn就是(Bn+1)+(Bn+2)+...+(Bn+n),即   Sn=n*Bn+1+2+3+...+n=(n+1)Bn+n   至于Bn=1+2+3+...+(n-1)这个问题,高斯的故事大家都听过,就不重复了,结果是Bn=n(n-1)/2   所以,有   Sn=n(n-1)(n+1)/2+n   至于S(2n+1),那就是:   S(2n+1)=(2n+1)(2n)(2n+2)/2+(2n+1)   S(2n+1)=2n(n+1)(2n+1)+2n+1   S(2n+1)=(2n+1)(2n^2+2n+1)   而A(n+1)-A(n)呢?   (n+1)^4-n^4=((n+1)^2)+n^2)((n+1)^2-n^2)=(2n^2+2n+1)(n+1+n)(n+1-n)=(2n+1)(2n^2+2n+1)   不就是S(2n+1)么
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