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【高中数学选修2-1椭圆已知F1,F2分别是椭圆E:x²/5+y2=1的左、右焦点F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截】
更新时间: 2025-08-28 17:23:49
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问题描述:

高中数学选修2-1椭圆

已知F1,F2分别是椭圆E:x²/5+y2=1的左、右焦点F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.

(Ⅰ)求圆C的方程;

(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.

师鸣若回答:
  (1)分别作出F1F2关于直线的对称点(2,4)(2,0)   得出C(2,2)半径2方程(x-2)^2+(y-2)^2=4   (2)设直线y=kx-2k   运用点到直线距离公式算出b=4/根号(1+k^2)   联立直线与椭圆方程得出(k^2+5)y^2+4ky-1=0   设直线与椭圆的两个交点为(x1,y1)(x2,y2)   利用韦达定理得出y1+y2=-4k/(k^2+5)y1*y2=-1/(k^2+5)   a=根号((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)   =根号((1+k^2)(y1-y2)^2)   (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1*y2   =20(k^2+1)/(k^2+5)^2   所以a=2根号5(k^2+1)/(k^2+5)   ab=8根号5*根号(k^2+1)/(k^2+5)   =8根号5*根号(k^2+1)/((k^2+1)+4)   上下同除根号(k^2+1)得到=8根号5/(根号(k^2+1)+4/根号(k^2+1))
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