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【高二数学双曲线已知双曲线的中心在坐标原点,焦点F(2,0)到一条渐近线的距离为1,试求过焦点F且与渐近线垂直的直线l被双曲线截得的线段长】
更新时间: 2025-08-22 17:50:19
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问题描述:

高二数学双曲线

已知双曲线的中心在坐标原点,焦点F(2,0)到一条渐近线的距离为1,试求过焦点F且与渐近线垂直的直线l被双曲线截得的线段长

倪跃回答:
  双曲线的中心在坐标原点,   焦点F(2,0)   那么焦点在x轴上,c=2,   设双曲线方程为   x²/a²-y²/b²=1   一条渐近线L1:y=b/ax   即bx-ay=0   F到渐近线的距离   为|bc|/√(a²+b²)=|b|=1   ∴b=1,a²=c²-b²=3   ∴双曲线为x²/3-y²=1   L1:y=√3/3x   过F垂直与L1的直线为   y=-√3(x-2)   代入x²/3-y²=1   x²-9(x-2)²=3   即8x²-36x+39=0   设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)   则x1+x2=9/2,x1x2=39/8   ∴|AB|=√(1+3)*√[(x1+x2)²-4x1x2]   =2*√(81/4-39/2)   =√3
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