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数学证明难题(cosπ/4+isinπ/4)的n次方=cosnπ/4+isinnπ/4i为虚数单位,n是正整数.
更新时间: 2025-08-21 15:57:37
1人问答
问题描述:

数学证明难题

(cosπ/4+isinπ/4)的n次方=cosnπ/4+isinnπ/4i为虚数单位,n是正整数.

刘卫国回答:
  这个是棣莫弗定理:先引入欧拉公式:e^ix=cosx+isinx将e^t,sint,cost分别展开为泰勒级数:e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+……+t^n/n!+……sint=t-t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……cost=1-t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……将t=ix代入以上三式,可得欧拉公式应用欧拉公式,(cosx+isinx)^n=(e^ix)n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)
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