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数学圆锥曲线已知椭圆E的中心在原点,离心率e=1/2,且它的一个焦点与抛物线y平方=-4x的焦点重合1、求E方程2、求与椭圆E有公共焦点,且过(1/3,0)的双曲线的标准方程和渐近线方程3、点M在椭圆
更新时间: 2025-08-21 16:16:58
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问题描述:

数学圆锥曲线

已知椭圆E的中心在原点,离心率e=1/2,且它的一个焦点与抛物线y平方=-4x的焦点重合

1、求E方程

2、求与椭圆E有公共焦点,且过(1/3,0)的双曲线的标准方程和渐近线方程

3、点M在椭圆E上,椭圆E的两个焦点为F1,F2,求MF1*MF2的取值范围

李域回答:
  (1)可知抛物线的焦点(-1,0)所以椭圆c=1e=1/2所以a=2   所以b平方=3所以椭圆方程x平方/4+y平方/3=1   (2)设双曲线方程x平方/a平方-y平方/b平方=1c=1所以a平方+b平方=1   b平方=1-a平方将点(1/3,0)带入解得a平方=1/9b平方=8/9   所以9x平方-9y平方/8=1渐近线y=±bx/a=±2根号2x   (3)椭圆焦点(±1,0)设M(x1,y1)则MF1=(-1-x1,-y1)MF2=(1-x1,-y1)   所以MF1*MF2=x1平方-1+y1平方   又由椭圆方程y1平方=3-(3/4)x平方所以MF1*MF2=(1/4)x1平方+2   x1范围(-1/3,1/3)所以MF1*MF2=(1/4)x1平方+2范围(2,73/36)
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