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已知数列An满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9已知数列An满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9猜想An的通向公式并用数学归纳法证明
更新时间: 2025-08-24 13:37:59
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问题描述:

已知数列An满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9

已知数列An满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9

猜想An的通向公式并用数学归纳法证明

廖常俊回答:
  ∵数列{a[n]}满足4a[n+1]-a[n]a[n+1]+2a[n]=9   ∴(4-a[n])a[n+1]=9-2a[n]   即:a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)   ∵a[1]=1   ∴a[2]=7/3,a[3]=13/5,a[4]=19/7,...   ∵分子是首项为1,公差为6的等差数列   ∴猜想分子是:1+6(n-1)=6n-5   ∵分母是首项为1,公差为2的等差数列   ∴猜想分母是:1+2(n-1)=2n-1   ∴猜想{a[n]}的通项公式是:a[n]=(6n-5)/(2n-1)   下面用数学归纳法来证明上述猜想公式成立:   当n=1时,左边=a[1]=1,右边=(6*1-5)/(2*1-1)=1,此时公式成立   设n=k时公式成立,即:a[k]=(6k-5)/(2k-1)   ∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)   ∴当n=k+1时,a[k+1]=(2a[k]-9)/(a[k]-4)   =[2(6k-5)/(2k-1)-9]/[(6k-5)/(2k-1)-4]   =[(-6k-1)/(2k-1)]/[(-2k-1)/(2k-1)]   =(6k+1)/(2k+1)   =[6(k+1)-5]/[2(k+1)-1],公式也成立   ∴{a[n]}的通项公式:a[n]=(6n-5)/(2n-1)的猜想是正确的   再用不动点法给予验证:   ∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)   令:x=(2x-9)/(x-4)   x^2-4x=2x-9   即:(x-3)^2=0   解得不动点:x=3   ∴a[n+1]-3=(2a[n]-9/(a[n]-4)-3=(-a[n]+3)/(a[n]-4)   取倒数:1/(a[n+1]-3)=(4-a[n])/(a[n]-3)=1/(a[n]-3)-1   即:1/(a[n+1]-3)-1/(a[n]-3)=-1   ∵a[1]=1   ∴{1/(a[n]-3)}是首项为1/(a[1]-3)=-1/2,公差为-1的等差数列   即:1/(a[n]-3)=-1/2-(n-1)=(1-2n)/2   ∴a[n]=2/(1-2n)+3=(5-6n)/(1-2n)=(6n-5)/(2n-1)   验证结果:猜想、数学归纳法、不动点法所得的{a[n]}通项公式完全一致   a[n]=(6n-5)/(2n-1)
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