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强大的数学题:设数列{An}的前N项和为Sn已知A1=.设数列{An}的前N项和为Sn,已知A1=1,A2=6,A3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8(n=1,2,3,4,.)请证明数列{An}为等差数列
更新时间: 2025-08-29 12:31:37
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问题描述:

强大的数学题:设数列{An}的前N项和为Sn已知A1=.

设数列{An}的前N项和为Sn,已知A1=1,A2=6,A3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8(n=1,2,3,4,.)

请证明数列{An}为等差数列

李佳颖回答:
  因为:(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8...(1)   所以:(5(n+1)-8)Sn+2-(5(n+1)+2)Sn+1=-20(n+1)-8   即:(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28...(2)   (2)-(1)   (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20...(3)   所以,   (5(n+1)-3)Sn+3-(10(n+1)-1)Sn+2+(5(n+1)+2)Sn+1=-20   即:(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20...(4)   (4)-(3)   (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0...(5)   因为:An+1=Sn+1-Sn,带入(5)   所以:   (5n+2)An+3-(10n+4)An+2+(5n+2)An+1=0   因为:(5n+2)不等于0.   所以:   An+3-2An+2+An+1=0   所以:   An+3-An+2=An+2-An+1...(当n≥1时)   又因为:   A3-A2=A2-A1=5   所以,数列{An}为等差数列
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