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【德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=1,x为有理数0,x为无理数被称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有以下四个命题:①f(f(x))=0;②函数f(x)是】
更新时间: 2025-08-29 21:39:05
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问题描述:

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=

1,x为有理数0,x为无理数被称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有以下四个命题:

①f(f(x))=0;

②函数f(x)是偶函数;

③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立;

④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.

其中真命题的个数是()

A.4

B.3

C.2

D.1

李延来回答:
  ①∵当x为有理数时,f(x)=1;当x为无理数时,f(x)=0,   ∴当x为有理数时,ff((x))=f(1)=1;当x为无理数时,f(f(x))=f(0)=1,   即不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1,故①不正确;   接下来判断三个命题的真假   ②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,   ∴对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故②正确;    ③若x是有理数,则x+T也是有理数;若x是无理数,则x+T也是无理数,   ∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故③正确;    ④取x1=-33
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