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高等数学第二类换元法1.∫1/[x√(x^2-1)]dxarecos1/|x|+C2.∫√(x^2-1)/xdx√(x^2-1)+arccos(1/x)+C,当x1我被课本搞到乱七八糟我按照课本上所写的方法分情况x>ax
更新时间: 2025-08-30 02:17:20
5人问答
问题描述:

高等数学第二类换元法

1.∫1/[x√(x^2-1)]dx

arecos1/|x|+C

2.∫√(x^2-1)/xdx

√(x^2-1)+arccos(1/x)+C,当x1

我被课本搞到乱七八糟

我按照课本上所写的方法分情况x>ax

李劭回答:
  1、当x>1时,令x=secu,则(1/x)=cosu,则√(x^2-1)=tanu,dx=secutanudu   原式=∫1/[secu*tanu]*secutanudu=∫1du=u+C=arccos(1/x)+C   当x1,dx=-dt   ∫1/[x√(x^2-1)]dx=∫1/[(-t)√(t^2-1)]d(-t)=∫1/[t√(t^2-1)]dt,与刚才那个完全一样,直接用刚才的结果,得arccos(1/t)+C=arccos(-1/x)+C,   两个结合就得到:arccos1/|x|+C   2、类似,当x>1时,令x=secu,则(1/x)=cosu,则√(x^2-1)=tanu,dx=secutanudu   原式=∫(tanu/secu)*secutanudu=∫(tanuj)^2du=∫[(secuj)^2-1]du=tanu-u+C   =√(x^2-1)-arccos(1/x)+C   当x1,dx=-dt   ∫√(x^2-1)/xdx=∫√(t^2-1)/(-t)d(-t)=∫√(t^2-1)/tdt   与刚才完全一样,直接用刚才结果,得:√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+C   这道题你答案写错了.
万筱宁回答:
  嗯嗯,答案最后是写错了有个问题啊最后那个√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+Ct=-x則1/t=-1/xarccos(1/t)=arccos(-1/x)=-arccos(1/x)???为什么负号会变正号
李劭回答:
  我写错了,应该是,√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)-arccos(-1/x)+C综上,最后结果为√(x^2-1)-arccos(1/|x|)+C这个负号不能提出来的,哈哈。
万筱宁回答:
  但是我书上写的答案是√(x^2-1)+arccos(1/x)+C,当x1是书本上的答案错了吗??但是把两个情况的答案求导结果都是跟题目一样啊~那到底是哪里出问题了??
李劭回答:
  我刚才晕头了,这个也是对的。当a
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