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高等数学,全微分与路径无关.1;曲线积分∫(xdx+ydy)/(x^2+y^2),有平面线D:x^2+y^2>0,答案说它与路径无关,因为原式=d(1/2)ln(x^2+y^2),即其被积式在D上是某个二元函数的全微分.请问为什么啊?它的原理
更新时间: 2025-08-18 05:48:20
3人问答
问题描述:

高等数学,全微分与路径无关.

1;曲线积分∫(xdx+ydy)/(x^2+y^2),有平面线D:x^2+y^2>0,答案说它与路径无关,因为原式=d(1/2)ln(x^2+y^2),即其被积式在D上是某个二元函数的全微分.

请问为什么啊?它的原理是什么啊?这句话适用于任何函数么?

2;曲线积分∫(xdy+ydx)/(x^2+y^2),有平面线D:x^2+y^2>0,这个式子不是单连通域,所以不能用格林公式证明,但是答案却说:因为aq/ax≠ap/ay,所以与路径有关.

请问为什么啊?

吕锋回答:
  在单联通区域内,“αQ/αx=αP/αy”与“Pdx+Qdy是一个二元函数的全微分”是等价的,教材上应该是有的.你的题目里面的D是区域还是曲线?第一个积分只能说在一个不包括原点的单连通区域内与路径无关.如果曲线积分中的L...
刘洪军回答:
  D是区域你好,请看我上面的第一问:曲线积分∫(xdx+ydy)/(x^2+y^2),有平面线D:x^2+y^2>0,与路径无关答案是这样证明的:被积函数=d(1/2)ln(x^2+y^2),被积函数在D上是某个二元函数的全微分,所以他与路径无关。这种证明方法有什么依据啊?难道全微分就一定与路径无关么?
吕锋回答:
  我前面已经说了,高数教材上会提到一个定理,在单连通区域内,αQ/αx=αP/αy与“Pdx+Qdy是某一个二元函数的全微分”是等价的。这个与微分方程里面的全微分方程有关系。如果你的教材上没有,就到百度文库找找同济大学、清华大学等版本的高数教材看看。这个定理在所有的高数教材上都应该有的。
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