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用数学归纳法证明:f(n)=3*5^(2n+1)+2^(3n+1)对任意正整数n,f(n)都能被17整除
更新时间: 2025-08-19 10:15:09
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问题描述:

用数学归纳法证明:f(n)=3*5^(2n+1)+2^(3n+1)对任意正整数n,f(n)都能被17整除

高丽萍回答:
高丽萍回答:
  证:(1)当n=1时,f(1)=391能被17整除(2)假设当n=k时,f(k)能被17整除,则当n=k+1时,f(k+1)=3*5^(2k+3)+2^(3k+4)=25*3*5^(2k+1)+8*2^(3k+1)=3*5^(2k+1)+2^(3k+1)+24*3*5^(2k+1)+7*2^(2k+1)=f(k)+7(3*5^(2k+1)+2^(3k+1))+17*3*5^(2k+1)=f(k)+7f(k)+17*3*5^(2k+1)由于f(k)、17*3*5^(2k+1)均能被17整除,那么f(k+1)也能被17整除综上,结论成立
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