（高一数学）为什么两半径相同的圆相离时,其方程相减可得到两圆的对称轴?
更新时间： 2025-08-29 20:44:51
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问题描述：
（高一数学）为什么两半径相同的圆相离时,其方程相减可得到两圆的对称轴?
刘高升回答：
已知：圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0和圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0相交于A、B两点
求证：圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
同一法：
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆R与圆S的两个交点,
所以,
x1^2+y1^2+dx1+ey1+f=0①
x1^2+y1^2+mx1+ny1+p=0②
x2^2+y2^2+dx2+ey2+f=0③
x2^2+y2^2+mx2+ny2+p=0④
所以,
①-②,得
(d-m)x1+(e-n)y1+(f-p)=0⑤
③-④,得
(d-m)x2+(e-n)y2+(f-p)=0⑥
由⑤、⑥,得A(x1,y1)、B(x2,y2)两点同时适合直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
因为过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线有且只有一条
所以,直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.
因为AB是圆R与圆S的公共弦
所以,圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
即有
圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0⑦
圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0⑧
⑦-⑧,得
(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
所以,圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0
刘高升回答：
当两圆相离时相减得到的是两圆的对称轴，即根轴。所谓的根轴是指：到两圆圆心距离的平方差等于两圆半径的平方差的点的轨迹。假设两圆的方程为：圆O1：(x-a)2+(y-b)2=r12圆O2：(x-m)2+(y-n)2=r22设符合条件的点为P=(x，y)，则根据条件有：(x-a)2+(y-b)2-[(x-m)2+(y-n)2]=r12-r22。就是两圆相减的式子
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