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【用数学归纳法证明:tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2,n∈N+).】
更新时间: 2025-08-24 16:56:24
1人问答
问题描述:

用数学归纳法证明:

tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2,n∈N+).

黄景德回答:
  答案:   解析:   解析:   (1)当n=2时,左边=tanα×,右边=,等式成立.(2)假设当n=k时(k≥2,k∈N+)等式成立,即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=-k,则当n=k+1时,tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-k+tankα·tan(k+1)α.(*)因tanα=tan[(k+1)α-kα]=,得tankαtan(k+1)α=.代入(*)式,得右边=-(k+1),即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-(k+1).这就是说,当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)可知,对任意n≥2,n∈N+,等式成立.
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