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用数学归纳法证明1+2+3+4+...+2的n次方=2的2n-1次方+2的n-1次方.
更新时间: 2025-08-24 13:37:59
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问题描述:

用数学归纳法证明1+2+3+4+...+2的n次方=2的2n-1次方+2的n-1次方.

冯桂回答:
  证明(1)当n=1时左式=1+2^1=3右式=2^(2×1-1)+2^(1-1)=2+1=3   此时命题成立   (2)假设当n=k时命题成立即   1+2+3+……+2^k=2^(2k-1)+2^(k-1)   那么当n=k+1时   1+2+3+……+2^k+[(2^k+1)+(2^k+2)+……+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]   =2^(2k-1)+2^(k-1)+[(2^k+1)+(2^k+2)+……+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]   =2^(2k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+(1+2+3+……+2^k)   =2^(2k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+2^(2k-1)+2^(k-1)   =2^(2k)+2^(k)+2^2k=2^(2k+1)+2^k   即此时命题成立由数学归纳法知原命题成立
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