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【高一数学难题设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),集合A={x/x=f(x),x∈R},B={x/x=f(f(x)),x∈R}(1)证明:A∈B;(2)当A={-1,3}时求集合B;(3)当A只有一个元素时,求证:A=B求解答,谢谢大家了】
更新时间: 2025-08-29 20:44:53
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问题描述:

高一数学难题

设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),集合A={x/x=f(x),x∈R},B={x/x=f(f(x)),x∈R}(1)证明:A∈B;(2)当A={-1,3}时求集合B;(3)当A只有一个元素时,求证:A=B

求解答,谢谢大家了

胡良霖回答:
  (1)集合A={x|f(x)=x}   x2+ax+b=x   x2+(a-1)x+b=0   x=x1,x2   说明A中有两元素{x1,x2},满足f(x1)=x1,f(x2)=x2   B={x|f[f(x)]=x}   把x1代入B中   得:f[f(x1)]=f(x1)=x1   把x2代入B中   得:f[f(x2)]=f(x2)=x2   说明x1,x2都满足f[f(x)]=x   B中也有两元素{x1,x2}   所以A包含于B   (2)由A={x|x=f(x)}及A=﹛-1,3﹜知   方程f(x)=x即x^2+(a-1)x+b=0的两个根为-1,3   所以-1+3=1-a得a=-1   (-1)*3=b得b=-3   所以f(x)=x^2-x-3   所以f[f(x)]=x即(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x   化简整理得x^4-2x^3-6x^2+6x+9=(x+1)(x-3)(x^2-3)=0   所以B={-1,3,-√3,√3}   (3)
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