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【Sn=1-1/2+1/3-1/4……1/2n-1+1/2n,Tn=1/n+1+1/n+2……1/2n猜想Sn与Tn的大小关系,并用数学归纳法证明】
更新时间: 2025-08-24 16:40:00
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问题描述:

Sn=1-1/2+1/3-1/4……1/2n-1+1/2n,Tn=1/n+1+1/n+2……1/2n

猜想Sn与Tn的大小关系,并用数学归纳法证明

董雁适回答:
  猜想:Sn=Tn.   证明:(1)当n=1时,S1=1-1/2=1/2,T1=1/2,因此S1=T1,命题成立.   (2)设当n=k(k>=1,为正整数)时Sk=Tk,   两边同时加上1/(2k+1)-1/(2k+2),得   Sk+1/(2k+1)-1/(2k+2)=Tk+1/(2k+1)-1/(2k+2),   上式左边=S(k+1),   右边=1/(k+1)+1/(k+2)+.+1/(2k)+1/(2k+1)-1/(2k+2)   =[1/(k+2)+1/(k+3)+.+1/(2k)+1/(2k+1)+1/(2k+2)]+[1/(k+1)-2/(2k+2)]   =1/(k+2)+1/(k+3)+.+1/(2k)+1/(2k+1)+1/(2k+2)   =T(k+1),   因此命题对n=k+1也成立,   由(1)(2)可得,对所有正整数n,有Sn=Tn.
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