W=（1+1）×1÷2+（1+2）×2÷2+（1+3）×3÷2..（1+n）×n÷2=½[（1+2+3+4+5.+n）＋（1²＋2²＋.＋n²）]＝½〔（1＋n）×n＋六分之一×n（n＋1）×（2n＋1）〕求第二步到第三步的原因,比谢
更新时间： 2025-08-29 11:30:49
1人问答
问题描述：
W=（1+1）×1÷2+（1+2）×2÷2+（1+3）×3÷2..（1+n）×n÷2
=½[（1+2+3+4+5.+n）＋（1²＋2²＋.＋n²）]
＝½〔（1＋n）×n＋六分之一×n（n＋1）×（2n＋1）〕
求第二步到第三步的原因,比谢
林昊翔回答：
1+2+3+……+n=n（n+1）/2
1²＋2²＋.＋n²=n*(n+1)*(2n+1)/6[高中不用证明的]
附：
给个算术的差量法求
我们知道(m+1)^3-m^3=3*m^2+3*m+1,可以得到下列等式：
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
.
(n+1)^3-n^3=3.n^2+3*n+1
以上式子相加得到
(n+1)^3-1=3*Sn+3*n(n+1)/2+n
其中Sn=1^2+2^2+3^2+.+n^2
化简整理得到：
Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6
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