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【高中数学题已知B1、B2是椭圆短轴的两个端点,F1、F2是椭圆的左、右两个焦点,过F1作x轴的垂线交椭圆于P,若|OF1|、|F1B1|、|B1B2|成等比数列,则|OF2|/|PF2|=?是等比数列……正确答案是√2/3,求过程】
更新时间: 2025-08-23 20:32:55
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问题描述:

高中数学题

已知B1、B2是椭圆短轴的两个端点,F1、F2是椭圆的左、右两个焦点,过F1作x轴的垂线交椭圆于P,若|OF1|、|F1B1|、|B1B2|成等比数列,则|OF2|/|PF2|=?

是等比数列……正确答案是√2/3,求过程

黄文东回答:
  (1).可设椭圆方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1.(a>b>0).易知,点F1(-c,0),F2(c,0),B1(0,b),B2(0,-b).P(-c,b^2/a).(2).显然,|OF1|=c,|F1B1|=a,|B1B2|=2b,|OF2|=c,|PF2|=a+(c^2/a).(3).由题设知,|F1B1|^2=|OF1|*|B1B2|.===>a^2=c*2b.===>b^2-2bc+c^2=0.===>b=c.===>a=(√2)b=(√2)c.(4).|OF2|/|PF2|=c/[a+(c^2/a)]=ac/[a^2+c^2]=[(√2)c*c]/[2c^2+c^2]=(√2)/3.===>|OF2|/|PF2|=(√2)/3.
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