【已知{an},a1=5a2=2an=2an-1+3an-2(n≥3）求an已知{an}中,a1=1a2=3an+2=3an+1-2an(n∈N*）求①求证：数列{an+1-an}是等比数列②求数列{an}的通向公式】
更新时间： 2025-08-28 20:17:52
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问题描述：
已知{an},a1=5a2=2an=2an-1+3an-2(n≥3）求an
已知{an}中,a1=1a2=3an+2=3an+1-2an(n∈N*）求
①求证：数列{an+1-an}是等比数列
②求数列{an}的通向公式
安联祥回答：
an+a(n-1)=3[a(n-1)+a(n-2)]
{an+a(n-1)}为等比数列!首项为a2+a1=7公比为3
an+a(n-1)=7*3^(n-2)(注意共有n-1项!）
设an+m*3^n=-[a(n-1)+m*3^(n-1)]
-m*3^(n-1)-m*3^n=7*3^(n-2)
同除以3^n:
-m/3-m=7/9
4m/3=-7/9
m=-7/12
所以
an－7/12*3^n=-[a(n-1)-7/12*3^(n-1)]
所以{an-7*3^n/12}为等比数列,公比为-1,首项为：a1-7*3^1/12=5-7/4=13/4
an-7*3^n/12=13/4*(-1)^(n-1)
an=7*3^n/12-13*(-1)^n/4
n=1也成立!
所以an=7*3^n/12-13*(-1)^n/4
第二大题（1)a(n+2)=3a(n+1)-2an所以a（n+2）-a（n+1）=2[a（n+1）-an]
所以数列{a(n+1)-an}是以2为首项2为公比的等比数列
(2)所以a（n+1）-an=2ˇn
+an-a（n-1）=2ˇ（n-1）
+
+
+a2-a1=2
∴an-a1=2ˇn-2∴an=2ˇn-1
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