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【数学课上,王老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:】
更新时间: 2025-08-22 19:25:04
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问题描述:

数学课上,王老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.

经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)观点一:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立.

观点二:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.

请从以上两个观点中选择一个观点判断是否正确,如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

(2)拓展:如图4,当四边形ABCD是矩形,且AB=2AD时,点E是边BC上的任意一点(不与B、C重合),∠AEF=90°,且AE=2EF,连接CF,求tan∠FCG的值.

吕雁飞回答:
  (1)①观点一正确.   证明:如图2,在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME.   ∴BM=BE,   ∴∠BME=45°.   ∴∠AME=135°.   ∵CF是外角平分线,   ∴∠DCF=45°.   ∴∠ECF=135°.   ∴∠AME=∠ECF.   ∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+CEF=90°,   ∴∠BAE=∠CEF.   在△AME和△BCF中,   ∠BAE=∠CEFAM=EC∠AME=∠ECF
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