【三角函数性质的综合设函数fx=sin(πx/3-π/6)-2cos^2(πx/6),求函数的最小正周期和单调区间.若函数y=gx与y=fx的图像关于直线x=2对称,求当x∈[0,1]时y=gx的最大值.】
更新时间： 2025-08-28 07:17:54
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问题描述：
三角函数性质的综合
设函数fx=sin(πx/3-π/6)-2cos^2(πx/6),求函数的最小正周期和单调区间.若函数y=gx与y=fx的图像关于直线x=2对称,求当x∈[0,1]时y=gx的最大值.
厉鲁卫回答：
fx=sin(πx/3-π/6)-2cos^2(πx/6)
=sin(πx/3)×√3/2-cos(πx/3)×1/2-cos(πx/3)-1
=√3/2×sin(πx/3)-3/2×cos(πx/3)-1
=√3sin(πx/3-π/3)-1
最小正周期T=2π/(π/3)=6
2Kπ-π/2≤πx/3-π/3≤2Kπ+π/2,k∈Z
6K-1/2≤x≤6K+5/2,k∈Z
函数的单调递增区间
[6K-1/2,6K+5/2],k∈Z
单调递减区间
[6K+5/2,6K+11/2],k∈Z
2
∵y=gx与y=fx的图像关于直线x=2对称
∴g(x)=√3sin[π/3(4-x)-π/3]-1
=√3sin[4π/3-πx/3-π/3]-1
=√3sin[π-πx/3]-1
=√3sin(πx/3)-1
∵0≤x≤1∴0≤πx/3≤π/3
∴0≤sin(πx/3)≤√3/2
∴-1≤g(x)≤1/2
∴x=1时,g(x)取得最大值1/2
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