【已知函数f（x）=4sinxsin²（π/4+x/2)+cos2x-1已知函数f（x）=4sinxsin2（π/4+x/2)+cos2x-1(1)设ω＞0为常数，若y=f(ωx）在区间[-π/2,2π/3]上是增函数，求ω的取值范围；(2)设集合A=[π/6，2π/3].B={x|1/2[f(x)]2-mf(x】
更新时间： 2025-08-25 15:15:04
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问题描述：
已知函数f（x）=4sinxsin²（π/4+x/2)+cos2x-1
已知函数f（x）=4sinxsin2（π/4+x/2)+cos2x-1
(1)设ω＞0为常数，若y=f(ωx）在区间[-π/2,2π/3]上是增函数，求ω的取值范围；
(2)设集合A=[π/6，2π/3].B={x|1/2[f(x)]2-mf(x)+m2+m-1＞0｝，若A∈B恒成立，求实数m的取值范围。
李学回答：
f(x)=4sinxsin²(π/4+x/2)+cos2x-1
=4sinxsin²[(π/2+x)/2]+cos2x-1
=4sinx[1-cos(π/2+x]/2+cos2x-1
=2sinx+2sin²x+1-2sin²x-1
=2sinx
∴f(ωx)=2sinωx
x∈[-π/2,2π/3]是增函数
f'(ωx)=2ωcosωx>0
∵ω>0
∴cosωx>0
ω·2π/3≤π/2→ω≤3/4
ω·(-π/2)≥-π/2→ω≤1
∴ω的取值范围00
2sin²x-msinx+m²+m-1>0
Δ=-7m²-8m+8(6√2-4)7∪m(6√2-4)7∪m
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