基本假设 　　问题的本身尚有一些不确定的因素,比如说基金到位的时间,每年奖金发放的日期,银行利率的变动情况等.为使问题简化,我们给出如下假设： 　　（1）该笔资金于年底一次性到位,自下年起每年年底一次性发放奖金,每年发放的奖金额为固定的,记为yn. 　　（2）仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况,假设三种期限的国库券每年至少发行一次,且只要想买,就一定能买到. 　　（3）银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准,且在n年内不发生变化. 　　（4）国库券提前支取,按同期银行存款利率记息,且收取2‰的手续费. 　　基本模型 　　模型一单纯存款模型 　　设将一元钱存入银行k年（包括中途转存）,到期时本息最多可达rk元,则假如第k年 　　有Mk元的存款到期,到期时取出,本息和最大可达rkMk.现将M元分成n份,分别记为M1,M2,…,Mn.将Mk存入银行k年,到期时取出,将本息和作为第k年的奖金（第n年本息和除作奖金外,还要留下原始本金M）,则应有 　　rkMk=ynk=1,2,…,n-1,rnMn=yn+M,x09（10.50） 　　记 　　i=1,2,…,n,n=yn/M 　　则 　　Mk=k=1,2,…,n-1,Mn= 　　yn=,n=x09x09x09（10.51） 　　上式给出了n年内每年的奖金额yn与M的比值.该式的关键在于如何求出rk,k=1,2,…,n.下面我们给出rk的算法. 　　设将1元钱存入银行k年,k年存期中有x1个一年期,x2个二年期,x3个三年期,x5个五年期,记Ak（x1,x2,x3,x5）为其本息和,则 　　Ak（x1,x2,x3,x5）=x09x09x09x09x09x09(10.52)x09其中x1+2x2+3x3+5x5=k,表示年定期的资金增长系数,且 　　(10.53) 　　其中k=,表示非负整数集. 　　上述问题可以表示为如下规划问题： 　　通过适当的变换,可以将上式转化为线性规划模型. 　　实际上,这个问题还可以用其它方法求解,容易看出,任意交换二个存期的次序不改变本息和.例如,先存一年期后存三年期与先存三年期后存一年期,到期时本息和是一样的.不仅如此,经计算可知以下五式成立 　　<2x09,12<3x09,<13,23<5x09,<15x09x09x09(10.54)x09上式表明,存2个一年期不如一次存1个二年期,存1个一年期再转存1个二年期不如一次存1个三年期,以此类推,存2个三年期不如先存1个一年期再转存1个五年期.据此我们得到如下定理. 　　定理10.13假如Ak（x1,x2,x3,x5）在（）点取得最大值,则应有 　　（i）≤1,≤1,≤1； 　　（ii）+≤1,+≤1； 　　（iii）+2+3≤4 　　定理10.14假如Ak（x1,x2,x3,x5）在（）点取得最大值,则应有 　　.(10.55) 　　由定理10.14得到 　　rk=x09x09x09x09x09x09x09x09x09x09(10.56) 　　模型二可存款可购国库券模型 　　仍将M分成M1,M2,…,Mn共n份,Mk可作存款或购买国库券用,其本息和用作第k年的奖教金,最后一笔除作奖金外,还应留下基金本金M. 　　由于国库券在一年内不定期发行,为保证当有国库券时能即时买到,可以考虑将这笔钱以半年定期存入银行,若在上半年发行国库券,以活期利息提前支出,购买国库券,当国库券到期时取出,再存一个半年定期,剩余的时间以活期计息；若在下半年发行国库券,此时半年定期已到期,立即取出,购买国库券,到期时取出,剩余时间再存活期.购买国库券之前及到期取出之后的两段时间之和为一年,因此购买一个k年期的国库券实际需要k+1年. 　　通过分析可以得出,要获得最大的资金增值,应选择一年定期、二年定期、三年定期及三年国库券和五年国库券,而不应选择二年期国库券和五年定期存款.为了叙述方便,把买三年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个四年期存款,到期时资金增长系数为,把买五年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个六年期存款,到期时资金增长系数为.设将Mk的本息用作第k年的奖教金,k年中有x1个一年期,x2个二年期,x3个三年期,x4个四年期,x6个六年期,则到期时资金增长系数为 　　x1+2x2+3x3+4x4+6x6=k 　　类似于单纯存款模型的分析,要使取最大值,只需取 　　（10.57） 　　（10.58） 　　模型三基于百年校庆的最佳投资模型 　　用yn’表示第一年发的资金额,其它仍采用前面的记号及处理方法,则应有 　　（10.59） 　　令 　　(10.60) 　　rk的推导同模型一及模型二. 　　基本结果与分析 　　模型一至模型三就不同情况给出了最佳投资方案,根据本题所给条件,得到具体结果如表10.2. 　　表10.2最佳投资Mk分配表（单位：万元,其中=0.2） 　　1234567891011 　　125.3122.8119.8117.7115.6108.9106.9104.8102.3 　　129.8127.0124.0120.0117.9112.7110.7108.5105.9102.4100.6 　　1079105.7103.2101.398.596.894.892.590.9 　　105.9103.8101.399.596.795.093.490.889.286.785.2 　　105.5103.4119.199.296.594.892.990.689.0 　　122.6120.1140.6115.1113.1106.6104.7102.6100.0 　　注：上表中,表示模型一的相关结果；表示模型二的相关结果；表示模型三的结果,其中第一行表示仅考虑存款方式,第二行表示可存款可购国库券方式. 　　分析：对于模型一,根据公式(10.51)、(10.55)及（10.56）,对不同的n,分别定义为5个子序列：.可以证明上