讨论关于x的方程x=log^(-x²+2x+a)(a>0,且a≠1）的解的个数要过程,
更新时间： 2025-08-22 18:31:50
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问题描述：
讨论关于x的方程x=log^(-x²+2x+a)(a>0,且a≠1）的解的个数
要过程,
范青武回答：
原方程等价于方程
a^x=-x²+2x+a
即a^x=-(x-1)²+a+1
题意等价于判断函数y=a^x与函数y=-(x-1)²+a+1(y＞0)的图像的交点的个数,
其中,y=-(x-1)²+a+1为开口向下、对称轴为x=1顶点为(1,a+1)的抛物线,
①当0＜a＜1时,曲线y=a^x过点（0,1）,且单调减,当x=1时,y=a＜a+1,2个交点；
②当a＞1时,曲线y=a^x过点（0,1）,且单调增,当x=1时,y=a＜a+1,2个交点.
所以,当a>0,且a≠1时,函数y=a^x与函数y=-(x-1)²+a+1的图像总有2个交点,
即关于x的方程x=log^(-x²+2x+a)(a>0,且a≠1）的解的个数总是2个.
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