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三角形ABC中,∠ACB=90°,AD是∠A的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE垂直AB于E.求证:四边形CDEF是菱形
更新时间: 2025-08-22 21:12:41
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问题描述:

三角形ABC中,∠ACB=90°,AD是∠A的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE垂直AB于E.

求证:四边形CDEF是菱形

梁红波回答:
  证明:∵AD是∠A的平分线   ∴∠CAD=∠EAD   ∵DE垂直AB   ∴∠DEA=90   又∠ACB=90   ∴∠DEA=∠ACB   在△ACD与△AED中   AD=AD,∠ACD=∠AED,∠CAD=∠DAE   ∴ △ACD≌△AED   ∴CD=DE   且AC=AE   连接EF   在△ACF与△AEF中   ∠CAD=∠DAE,AF=AF,AC=AE   ∴△ACF≌△AEF   ∴CF=EF   在四边形CDEF中   DE⊥AB且 CH⊥AB   则DE‖CH ∠CDE与∠FCD互补   CD=DE 且 CF=EF   可证明△CDF全等于△EFD   则∠DCF=∠DEF   所以四边形为平行四边形   又CD=DE   所以四边形CDEF为菱形
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