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【a1,a2,…an是一组n维向量,证明:它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量组都可以由它们线性表示.】
更新时间: 2025-08-28 12:52:05
1人问答
问题描述:

a1,a2,…an是一组n维向量,证明:它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量组都可以由它们线性表示.

石立公回答:
  证明必要性   设a为任一n维向量   因为a1a2……an线性无关   而a1a2……ana是n+1个n维向量   是线性相关的   所以a能由a1a2……an线性表示   且表示式是唯一的   充分性已知任一n维向量都可由a1a2……an线性表示,   故单位坐标向量组e1e2……en能由a1a2……an线性表示,   于是有n=R(e1e2……en)≤R(a1a2……an)≤n   即R(a1a2……an)=n   所以a1a2……an线性无关
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