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已知抛物线C:x^2+4x+7/2,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线成为C在点M的法线.(1)若C在点M的法线的斜率为-1/2,求点M的坐标(x0,y0);(2)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点
更新时间: 2025-08-31 01:10:54
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问题描述:

已知抛物线C:x^2+4x+7/2,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线成为C在点M的法线.

(1)若C在点M的法线的斜率为-1/2,求点M的坐标(x0,y0);

(2)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.

p.s.第一问我会做:M(-1,1/2),问第二问怎么做,

孙济庆回答:
  抛物线y=x²+4x+7/2,   整理y=(x+2)²-1/2,最低点(-2,-1/2),   设C上有点Q(m,n),该点法线y=kx+b,   该点处切线斜率为y′=2x+4=2m+4,   那么法线斜率为k=-1/(2m+4),   带Q入法线方程,n=km+b,   带P入法线方程,a=-2k+b,   则n-a=km+2k=k(m+2),   简化n-a=-1/2,其中m≠-2(否则切线斜率为0,法线斜率不存在),   即n=a-1/2,   带入C中求得m=-2+√a或者-2-√a,其中a≥0,   但m≠-2,故a≠0,即a>0,   当m=-2+√a,法线为2√ay+x=-2+2a√a;   当m=-2-√a,法线为2√ay-x=2+2a√a;   综上,当a>0时,   C上存在A点(-2+√a,a-1/2)处的法线2√ay+x=-2+2a√a经过P;   C上存在A点(-2-√a,a-1/2)处的法线2√ay-x=2+2a√a经过P;   当a≤0时,则没有.
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