一道有点难的三角!已知△ABC的边a,b,c和它们的对角A,B,C满足关系：a+b=tan(C/2)*(atanA+btanB)求证：△ABC为等腰三角形
更新时间： 2025-08-28 07:56:43
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问题描述：
一道有点难的三角!
已知△ABC的边a,b,c和它们的对角A,B,C满足关系：a+b=tan(C/2)*(atanA+btanB)
求证：△ABC为等腰三角形
宋筱玲回答：
a=2RsinA,b=2RsinB
代入,得到sinA+sinB=tg(C/2)(sinAtgA+sinBtgB)
由于tg(C/2)=tg[派/2-(A+B)/2]=ctg[(A+B)/2],
又由于sinAtgA+sinBtgB=[sinAsinAcosB+sinBsinBcosA]/(cosAcosB)
=(cosA+cosB)(1-cosAcosB)/(cosAcosB)
把原式和差化积,2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
={cos[(A+B)/2]/sin[(A+B)/2]}*2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]*[(1-cosAcosB)/(cosAcosB)]
注意到两边的共同因子cos[(A-B)/2],一种情况是该因子为0,即A-B=派,不可能
另一种情况是剩余部分相等,于是继续化简
得到cosAcosB=cos[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]=[cos(A+B)+1]/2
于是继续展开化简得到cos(A-B)=1,于是A-B=0
所以A=B是等腰三角形
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