a1=2,(an+1)=an+(1/an)证:an〉根号(2n+1)对一切正整数n成立
更新时间： 2025-08-21 16:16:57
1人问答
问题描述：
a1=2,(an+1)=an+(1/an)
证:an〉根号(2n+1)对一切正整数n成立
杜建强回答：
证明：
1º.n=1时,a1=4^(1/2)=2>(2*1+1)^(1/2)=3^(1/2);
2º假设n=k时,ak>(2k+1)^(1/2);
则n=(k+1)时,a(k+1)=ak+1/ak;
欲证结果,只需证（ak+1/ak）^2>(2k+3);
而（ak+1/ak）^2=(ak)^2+2+1/(ak)^2
>2k+1+2+1/(ak)^2=(2k+3)+1/(ak)^2
易知ak>0且单调递增.因而1/(ak)^2>0;
所以,（ak+1/ak）>(2k+3)^(1/2)
由1º,2º可知:an>√(2n+1)对一切正整数n成立
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