【函数的达人进已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)＝12x,求使f(x)＝－12在[0,2010]上的所有x的个数．】
更新时间： 2025-09-01 13:40:20
1人问答
问题描述：
函数的达人进
已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)＝12x,求使f(x)＝－12在[0,2010]上的所有x的个数．
郭宝锋回答：
(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x),∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当0≤x≤1时,f(x)＝12x,
设－1≤x≤0,则0≤－x≤1,∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数,∴f(－x)＝－f(x),∴－f(x)＝－12x,即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)
又设1
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