特殊平行四边形习题3.4知识技能1已知：ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别平分角DAB和角CBA,过点P作AD的平分线,交AB于点Q.（1）求证：AP垂直PB（2）如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少?
更新时间： 2025-08-28 23:38:57
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问题描述：
特殊平行四边形习题3.4知识技能1
已知：ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别平分角DAB和角CBA,过点P作AD的平分线,交AB于点Q.
（1）求证：AP垂直PB
（2）如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少?三角形APB的面积是多少?
孙良回答：
（1）证明：
因为是平行四边形,所以
∠DAB+∠CBA=180
AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA
∠PAB=∠DAB/2
∠PBA=∠CBA/2
∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠CBA)/2=180/2=90
∠APB=180-(∠PAB+∠PBA)=90
所以AP垂直PB
（2）证明：
因为PQ||AB,所以
∠APD=∠PAQ
∠APQ=∠PAD
AP平分∠DAB,∠PAQ=∠PAD,所以
∠APD=∠APQ
在△APD和△APQ中
∠APD=∠APQ
AP=AP
∠PAD=∠PAQ
所以根据角边角定理,
△APD≌△APQ
对应边相等,则
AD=AQ
同理可证BQ=BC
因为是平行四边形,所以
BC=AD=PQ
因此AQ=BQ=AD=5
AB=AQ+BQ=10
根据勾股定理,可以推出
BP^2=AB^2-PA^2=10^2-8^2=100-64=36
所以
BP=6
因此△APB的面积
S=(1/2)AP*PB
=(1/2)*8*6
=24
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