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【【高中数学】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e等于二倍根号5除以5,它的顶点恰好是抛物线x的平方等于4y的焦点.(1)求C的标准方程(2)过C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,】
更新时间: 2025-08-23 12:27:16
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问题描述:

【高中数学】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e等于二倍根号5除以5,

它的顶点恰好是抛物线x的平方等于4y的焦点.

(1)求C的标准方程

(2)过C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点.若向量MA=aAF,MB=bBF,求证:a+b为定值.

第一问会了,第二问怎么做啊各位大哥大姐大叔叔们!

纪玉龙回答:
  (1)x²+5y²-5=0   (2)右焦点F(2,0)   设直线AB:y=k(x-2)与x²+5y²-5=0联立消去x得:   x²+5k²(x-2)²-5=0,即(5k²+1)x²-20k²x+20k²-5=0   设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,m)   X1+X2=20k²/(5K²+1),(1)X1X2=(20K²-5)/(5k²+1)(2)   ∵向量MA=aAF,MB=bBF   ∴(x1,y1-m)=a(2-x1,-y1),(x2,y2-m)=b(2-x2,-y2)   ∴x1=a(2-x1),x2=b(2-x2)   ∴a=x1/(2-x1),b=x2/(2-x2)   则a+b=x1/(2-x1)+x2/(2-x2)   =2[(x1+x2)-x1x2]/[4-2(x1+x2)+x1x2]   ∵(x1+x2)-x1x2   =20k²/(5K²+1)-(20K²-5)/(5k²+1)   =5/(5k²+1)   4-2(x1+x2)+x1x2   =4-40k²/(5K²+1)+(20K²-5)/(5k²+1)   =-1/(5k²+1)   ∴a+b=[2*5/(5k²+1)]/[-1/(5k²+1)]=-10
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