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【已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明:AB也是正定矩阵.】
更新时间: 2025-08-22 15:04:53
3人问答
问题描述:

已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明:AB也是正定矩阵.

刘红兵回答:
  因为AB=BA   所以(AB)^T=B^TA^T=BA=AB   所以AB是对称矩阵.   由A,B正定,存在可逆矩阵P,Q使A=P^TP,B=Q^TQ.   故AB=P^TPQ^TQ   而QABQ^-1=QP^TPQ^T=(PQ)^T(PQ)正定,且与AB相似   故AB正定.
曹剑东回答:
  QABQ^-1=QP^TPQ^T=(PQ)^T(PQ),关于这一步,老师,我认为应该是QABQ^-1=...=QP^TPQ^T=(PQ^T)^TPQ^T才对吧?而且,为什么能判定(PQ^T)^TPQ^T正定?谢谢!
刘红兵回答:
  你说的对,我忘加转置符号了!因为它与单位矩阵合同,所以正定.相当于可以表示为C^TC的形式(C可逆)
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