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已知f1(x)=x+1,且fn=f1[f(n-1)(x)](n>1,n属于正实数)(1)求f2(x),f3(x)的表达式,猜想fn(x)(n属于正实数)的表达式并且用数学归纳法证明(2)若关于x的函数y=x^2+f1(x)+f2(x)+...+fn(x)(n属于正实数)在区间(-∞,-1]上的
更新时间: 2025-08-28 10:35:37
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问题描述:

已知f1(x)=x+1,且fn=f1[f(n-1)(x)](n>1,n属于正实数)

(1)求f2(x),f3(x)的表达式,猜想fn(x)(n属于正实数)的表达式并且用数学归纳法证明

(2)若关于x的函数y=x^2+f1(x)+f2(x)+...+fn(x)(n属于正实数)在区间(-∞,-1]上的最小值为12,求n的值

邓兴旺回答:
  (1)   f2=f1[f(2-1)(x)]=f1[f1(x)]=f1[x+1]=x+2   f3=f1[f(3-1)(x)]=f1[f2(x)]=f1[x+2]=x+3   猜想   fn=x+n   证明:设对于k成立则fk=x+k   f(k+1)=f1[f(k+1-1)x]=f1[x+k]=x+k+1   得证   (2)   y=x*x+x+1+x+2+...x+n   y=x*x+nx+n(n-1)/2-------------a   若y有最小值则y得导数为零   y'=2x+n=0   因为n>0   所以n=-2x代入a式y=x*x-2x*x-2x(-1-2x)/2=12   解得:x=3或-4   因为x
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