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【高中数学给定椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为√(a²+b²),的圆是椭圆C的伴随圆,若椭圆C的一个焦点为F(√2,0),其短轴上的一个端点到F的距离为√3.过伴随】
更新时间: 2025-08-23 16:03:52
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问题描述:

高中数学

给定椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为√(a²+b²),的圆是椭圆C的伴随圆,若椭圆C的一个焦点为F(√2,0),其短轴上的一个端点到F的距离为√3.

过伴随圆上一动点Q作直线l1,l2,使l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线l1,l2的斜率之积,是否为定值.

关键说下直线l1,l2的斜率之积为定值怎么证,说方法不用过程

孟昭峰回答:
  F(√2,0)a=√(b^2+c^2)=√3   b=1   x^2/3+y^2=1   伴随圆x^2+y^2=4   Q(x0,y0)   l1:y=k1(x-x0)+y0   l2:y=k2(x-x0)+y0   x^2/3+y^2=1   x^2/3+(k1(x-x0)+y0)^2=1   (k1^2+1/3)x^2+k1^2(x-x0)^2=2k1y0(x-x0)+y0^2-1=0   (1/3+k1^2)x^2+2(k1y0-k1^2x0)x+(k1^2x0^2-2k1x0y0+y0^2-1=0   判别式   [2(k1y0-k1^2x0)]^2-4*(1/3+k1^2)*(k1^2x0^2-2k1x0y0+y0^2-1)=0   (1/3)k1^2x0^2+(-2/3)k1x0y0+(1/3)(y0^2-1)-k1^2=0   [(1/3)x0^2-1]k1^2+(-2/3)k1x0y0+(1/3)(y0^2-1)=0   同理   [(1/3)x0^2-1]k2^2+(-2/3)k2x0y0+(1/3)(y0^2-1)=0   k1、k2是方程[(1/3)x0^2-1]x^2+(-2/3)x*x0y0+(1/3)(y0^2-1)=0的两个根   k1k2=(1/3)(y0^2-1)/[(1/3)x0^2-1]   =(1/3)(3-x0^2)/[(1/3)x0^2-1]   =(-1)   因此l1、l2斜率之积为定值(-1)
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