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数学帝来呀…………已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为2倍根号2已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为2倍根号2,F1、F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A/B两点,且三角
更新时间: 2025-08-18 16:06:04
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问题描述:

数学帝来呀…………已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为2倍根号2

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为2倍根号2,F1、F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A/B两点,且三角形F2AB的最大面积为根号2,求椭圆的方程.

救人一命胜造七级浮屠,虽然我穷得没有悬赏的分了,冰天雪地跪谢!

哦打错了是二分之根号二………………

陈靖波回答:
  由于离心率为√2/2,所以c/a=√2/2,又根据椭圆定义,a^2=b^2+c^2,联合解得   a^2=2b^2且b=c.故椭圆方程可写为   x^2/2b^2+y^2/b^2=1.   可设,过F1点的直线方程式为Y=Kx+B,且经过点   (-3,0),故方程可写成Y=K(x+c).   代入椭圆方程式,化简得到:   y^2(1+2k^2)-2bky-b^2=0,解得   y1-y2=8k^2b^2(1+k^2).   三角形F2AB的面积其实就是2c为底边,y的绝对值为高的二个三角形之和,加在一起就是   c*(y1-y2),又因为c是固定的,所以,最大面积取决于(y1-y2),又因为   y1-y2=8k^2b^2(1+k^2).所以k=+∞时,面积最大.   当k=+∞时,直线方程可变成x=-c.   再代入椭圆方程再加上(a^2=2b^2且b=c)解得   y=+与-(√2/2)*b.   则y1-y2=√2b.   最大面积=c*(y1-y2)=√2cb=√2,又因为   b=c,所以b=c=1,b^2=c^2=1.又因为a^2=2b^2,所以a^2=2.   所以解得椭圆方程:   (x^2/2)+(y^2)=1
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