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一条有关椭圆的高中数学题,赶.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是
更新时间: 2025-08-27 20:11:28
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问题描述:

一条有关椭圆的高中数学题,赶.

从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是

管海军回答:
  此题很有难度,   关键有两点:   1、如何能截出最大矩形.(长宽与坐标轴平行)   2、是什么因素导致最大值发生变化.(是a的变化所致,要把a看做面积的变量)   设椭圆方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1,长所在直线方程为y=k,   联立则得x=±a/b×√(b^2-k^2),   则矩形面积为S=(X1-X2)*2k=4ak/b×√(b^2-k^2),   化简为S=4ab×k/b×√[1-(k/b)^2],观察此式,用换元法求最值,   令k/b=sinθ,则上式化为S=4ab×sinθ×cosθ=2absin2θ,   当θ=π/4时即k/b=√2/2时,取得最大值S=2ab   由已知,3b^2≤S≤4b^2得1.5b≤a≤2b,所以√5/3≤e≤√3/2
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