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【数学问题求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值.】
更新时间: 2025-08-27 16:58:08
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问题描述:

数学问题

求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值.

郝光宗回答:
  运用绝对值不等式   丨A丨+丨B丨≥丨A±B丨   当n为奇数时|x-1|+|x-n|≥丨n-x+x-1丨=n-1   同理|x-2|+|x-(n-1)|≥n-3   |x-3|+|x-(n-2)|≥n-5   ……|x-1/2*(n-1)|+|x-1/2*(n+3)|≥2   当x=1/2(n+1)(即1,n的中点)   有|x-1/2(n+1)|取最小值0.   故y(min)=0+2+4+……+(n-3)+(n-1)=(n^2-1)/4,   此时x=(n+1)/2;   当n为偶数.   |x-1|+|x-n|≥n-1   |x-2|+|x-(n-1)|≥n-3   |x-3|+|x-(n-2)|≥n-5   ……   |x-1/2*n|+|x-(1/2*n+1)|≥1   故y(min)=1+3+5+……+(n-3)+(n-1)=n^2/4,   此时x属于(n/2,(n+1)/2).
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