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【已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),且当x∈[0,1]时f(x)=-x2+1,则方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]的所有实根之和为()A.0B.2C.4D.8】
更新时间: 2025-08-29 00:23:54
1人问答
问题描述:

已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),且当x∈[0,1]时f(x)=-x2+1,则方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]的所有实根之和为()

A.0

B.2

C.4

D.8

刘之景回答:
  ∵对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),   ∴f(4+x)=f(x),   故f(x)是周期为4的周期函数.   ∵函数f(x)是偶函数,   ∴当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,   即x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,对称轴为x=0,   当1≤x≤3时,-1≤x-2≤1,   ∵f(2+x)=-f(x),   ∴f(x)=-f(x-2),   此时f(x)=-f(x-2)=-[-(x-2)2+1]=(x-2)2-1.当3≤x≤5时,-1≤x-4≤1,   此时f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1.   作出函数f(x)在[-1,5]的图象如图:   由图象可知当1≤x≤3时,对称轴为x=2,   当3≤x≤5时,对称轴为x=4,   则当k∈[0,1),函数f(x)与y=k,有4个交点,   它们分别关于x=0,x=4对称,   设对称的交点的横坐标分别为x1,x2,x5,x6,   则x1+x2=0,x5+x6=2×4=8,   ∴方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]的所有实根之和为0+8=8,   故选:D
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