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已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点.(1)求证:BC1∥平面CA1D;(2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B;(3)若底面ABC为边长为2的正三角形,BB1=3,求三棱锥B1-A1DC的体积.
更新时间: 2025-08-30 02:21:46
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问题描述:

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点.

(1)求证:BC1∥平面CA1D;

(2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B;

(3)若底面ABC为边长为2的正三角形,BB1=

3,求三棱锥B1-A1DC的体积.

田晓华回答:
  证明:(1)连接AC1交A1C于点E,连接DE   ∵四边形AA1C1C是矩形,则E为AC1的中点   又∵D是AB的中点,DE∥BC1,   又DE⊂面CA1D,BC1⊄面CA1D,   ∴BC1∥平面CA1D;   (2)AC=BC,D是AB的中点,   ∴AB⊥CD,   又∵AA1⊥面ABC,CD⊂面ABC,   ∴AA1⊥CD,   ∵AA1∩AB=A,   ∴CD⊥面AA1B1B,   又∵CD⊂面CA1D,   ∴平面CA1D⊥平面AA1B1B   (3)则由(2)知CD⊥面ABB1B,   ∴三棱锥B1-A1DC底面B1A1D上的高就是CD=3
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