【圆的半径是3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方,x轴被圆截的弦长2倍根号5我已经算出圆的方程为（x-1)^2+(y+2)^2=9,问是否存在斜率为1的直线L,使得圆C截L的弦AB为直径的圆过原点?】
更新时间： 2025-08-31 13:02:07
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问题描述：
圆的半径是3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方,x轴被圆截的弦长2倍根号5
我已经算出圆的方程为（x-1)^2+(y+2)^2=9,问是否存在斜率为1的直线L,使得圆C截L的弦AB为直径的圆过原点?
任雪玲回答：
设圆心坐标为C(x0,y0)
x轴被圆截的弦长2倍根号5时的坐标为C(x1,0),D(x2,0)
此时圆的方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=9
当它截X轴时,y=0,x0
∴(x-x0)^2+(0-y0)^2=9①
又2x0+y0=0②
由②得y0=-2x0代入①
得(x-x0)^2+(-2x-)^2=9
化简,得x^2-2xx0+5x0^2-9=0
∴x1+x2=2x0x1*x2=5x0^2-9
又弦CD=2√5
即(x1-x2)^2=(2√5)^2
可化成(x1+x2)^2-4x1x2=20
则(2x0)^2-4(5x0^2-9)=20
化简,得x0^2=1
∴x0=1或x0=-1
此时y0=-2或y0=2
∵圆心在x轴的下方
∴y0
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