设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m）；③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2
更新时间： 2025-08-27 16:46:44
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问题描述：
设函数f（x）满足：
①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；
②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m）；
③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出f(
胡翔云回答：
（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，
则f（x0）+f（x0）=2f（x0）f（0），
则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f2（1），
又f（0）=f（2），则f2（1）=1，则f（1）=±1，
由已知，f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
即有f（-x）=f（x），即有f（x）为偶函数；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，
则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，
令m=n=13
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